เอกภพโมดัสโพเนนส์ (Universal Modus Ponens)
กฎความจริงของเอกภพสัมพัทธ์ สามารถนำมาใช้กับ modus ponens แล้วได้ออกมา
เป็นกฎที่เรียกว่า Uiversal modus ponens
Universal Modus Ponens
การอ้างเหตุผลในรูปแบบต่อไปนี้ สรุปว่าสมเหตุสมผล (valid)
รูปแบบเป็นทางการ
x, if P (X ) then Q (x )
P (c ) for a particular c
รูปแบบไม่เป็นทางการ
ถ้า x ทำให้ p (x ) เป็นจริง แล้ว x ทำให้ Q (x ) เป็นจริง
มี c ที่ทำให้ P (x ) เป็นจริง
ดังนั้น c ทำให้ Q (x ) เป็นจริง
รูปแบบการอ้างเหตุผล ที่มีข้อตั้งสองอันและมีข้อตั้งอย่าย้อยหนึ่งอัน มีตัวบ่งชี้ปริมาณ
เราเรียกรูปแบบนี้ว่า ตรรกบท ข้อตั้งตัวที่หนึ่ง เรียกว่า ข้อตั้งหลัก
ข้อตั้งตัวที่สอง เรียกว่า ข้อตั้งรอง
ตัวอย่าง จงเขียนการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ใหม่โดยใช้สัญลักษณ์ ตัวบ่งชี้ปริมาณ ตัวแปร
ภาคแสดง การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม่อธิบาย
ถ้าจำนวนนั้นเป็นเลขคู่ แล้วค่ากำลังสองเป็นเลขคู่
K เป็นเลขคู่
ดังนั้น K2 เป็นเลขคู่
วิธีทำ ข้อตั้งหลักเขียนใหม่ได้เป็น
x, ถ้า x เป็นเลขคู่แล้ว x2 เป็นเลขคู่
ให้ E (X ) แทน X เป็นเลขคู่
( S (X ) แทน X2) เป็นเลขคู่
K เป็นเลขคู่ใดๆ
ดังนั้น สามารถเขียนการอ้างเหตุผลได้ในรูป
X, if E(X)then S(x)E (k) for a particular k
ดังนั้น ( S (k)
การอ้างเหตุผล สรุปว่า สมเหตุสมผล เพราะเป็นตามหลัก Universal Modus Ponens
การใช้ Universal Modus Ponens ในการพิสูจน์
จงพิสูจน์ว่า ผลบวกของเลขจำนวนเต็มคู่ จะได้เป็นจำนวนเต้มคู่
สมมุติให้ m และ n เป็นค่าเฉพาะค่าใดค่าหนึ่งแทนจำนวนเต็มคู่แล้ว M =2r
และ n =2s เมื่อ r และ s เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น m+n =2r +2s
= (r+s)
จาก r+s เป็นจำนวนเต็ม
2 (r+s ) เป็นเลขจำนวนเต็มคู่
ดังนั้น m+ n เป็นเลขจำนวนเต็มคู่
ในแต่ละขั้นตอนในการพิสูจน์ในการอ้างเหตุผล ที่สมเหตุสมผลโดยใช้
Universal modus ponens ซึ่งนำมาเขียนตามเป็นรูปแบบได้ดังนี้
1.ถ้าจำนวนเต็มนั้นเป็นเลขคู่ แล้วจะเป็น 2 เท่า ของจำนวนเต็มใดๆ ( r )
M เป็นตัวแทนค่าเฉพาะของจำนวนเต็มคู่ M = 2r
2. ถ้าจำนวนเต็มนั้นเป็นเลขคู่ แล้ว จะเป็น 2 เท่าของจำนวนเต็มใดๆ ( s )
N เป็นตัวแทนค่าเฉพาะของจำนวนเต็มคู่ N = 2s
3.ถ้าปริมาณใดเป็นจำนวนเต็ม แล้วปริมาณนั้นเป็นจำนวนจริง
R และ s เป็นค่าเฉพาะของจำนวนเต็ม
R และ s เป็นจำนวนจริง
สำหรับทุกๆค่าของ a,b และ c ถ้า a,b และ c เป็นจำนวนจริงแล้ว
Ab + ac = a (b+ c)
ให้ a = 2 , b = r และ c = s
2r + 2s = 2 ( r + s )
4.สำหรับทุกๆค่าของ n และ m เป็นจำนวนเต็มแล้ว n + m จะเป็นจำนวนเต็ม
M = r และ n = s เป็นจำนวนเต็มเฉพาะค่าที่ใช้แทนจำนวนเต็ม
R + s เท่ากับจำนวนเต็ม 5.ถ้าจำนวนใดๆเป็น 2 เท่า ของเลขจำนวนเต็ม แล้ว จำนวนนั้นจะเป็นเลขคู่
2 (r + s )เป็นสองเท่าของจำนวนเต็ม ( r + s ) 2 (r+s ) เป็นเลขคู่
แน่นอนการพิสูจน์ว่า ผลบวกของเลขจำนวนเต็มคู่จะได้เป็นจำนวนเต็มคู่ โดยอาศัยการอ้างเหตุผล
ลำดับขั้นตอนดังกล่าวข้างต้น แท้จริงแล้วคนทั่วไปที่มีหลักการวิเคราะห์ และการลำดับความคิดที่ดี
โดยทั่วไปแล้วอาจจะไม่ใส่ใจในการให้เหตุผลตามวิธีการนี้เสมอไป แต่ทุกคนมีวิธีการคิดสรุปไว้เรียบร้อยแล้ว เหมือนกับคนเราไม่ได้ใส่ใจว่าทุกขณะ เรากำลังหายใจอยู่
เอกภพสัมพัทธ์โมดัสโทลเลนส์ (Universal Modus Tollens)
กฎที่มีความสำคัญอย่างยิ่งเกี่ยวกับการอนุมาน คือ ความสมเหตุสมผล ของการอ้างเหตุผลของรูปแบบนี้
มีผลจากการเอาความเป็นจริงของเอกภพสัมพัทธ์ รวมกับเป็นหัวใจของการพิสูจน์ความชัดแจ้ง ซึ่งเป็นหนึ่งในวิธีการที่สำคัญยิ่งในการอ้างเหตุผลเชิงคณิตศาสตร์
Universal Modur Tollens
การอ้างเหตุผลในรูปแบบต่อไปนี้ สรุปว่า สมเหตุสมผล (Valid)
รูปแบบที่เป็นทางการ
X, if P(x) then Q(x) ~ Q(c) for a particular c ดังนั้น ~P(c)
รูปแบบไม่เป็นทางการ
ถ้า x ทำให้ P(x) เป็นจริง แล้ว x ทำให้Q(x) เป็นจริง
มี c ที่ทำให้ Q(x) ไม่เป็นจริง
ดังนั้น c ทำให้ P(x) ไม่เป็นจริง
ตัวอย่าง จงเขียนการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ใหม่ โดยใช้สัญลักษณ์ ตัวบ่งปริมาณ ตัวแปร และภาคแสดง
เขียนข้อตั้งหลักในรูปเงื่อนไข
จงหาว่าการอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เพราะเหตุใด
มนุษย์ทุกคนต้องตาย
ซีอุส ไม่ตาย
ซีอุส ไม่ใช่มนุษย์
วิธีทำ ข้อตั้งหลักสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้
X, ถ้า x เป็นมนุษย์ x ต้องตาย
ให้ H(x) แทน “x เป็นมนุษย์”
M(x) แทน “x เป็นความตาย”
และให้ Zแทน ซีอุส
การอ้างเหตุผลสามารถทำได้ดังนี้
x, if H(x) then M(x)
~M(z)
ดังนั้น ~H(z)
ดังนั้น เป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล โดยใช้ Universal Modus Tollens ตัวอย่าง จงเขียนอนุมานข้อสรุปโดยใช้ Universal Modus Tollens
ผู้คงแก่เรียนทุกคนใจลอย
ตี๋ใหญ่ไม่ใจเลย
วิธีทำ จากกฎ Universal Modus Tollens สามารถอนุมานข้อสรุปได้เป็น
“ตี๋ใหญ่ไม่ใช่คงแก่เรียน”
การพิสูจน์ความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลด้วยประพจน์บ่งชี้ปริมาณ (Proving Validity of Arguments with Quantified Statements )
นิยามความสมเหตุสมผลสำหรับการอ้างเหตุผลด้วยประพจน์บ่งชี้ปริมาณ ก็เช่นเดียวกับการอ้างเหตุผลของนิพจน์ การอ้างเหตุผลจะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อค่าความจริงที่นำมาสรุป เป็นไปตามเงื่อนไขจำเป็น
ของค่าความจริงข้อตั้ง ซึ่งนิยามได้ดังนี้
การสรุปที่ว่า รูปแบบการอ้างเหตุผล สมเหตุสมผล หมายความว่า
ไม่ว่าภาคแสดง จะถูกแทนค่าด้วยภาคแสดงสัญลักษณ์ในข้อตั้ง ถ้าผลของข้อตั้งทุกข้อเป็นจริงแล้วสรุปจะเป็นจริง
เหตุอ้างเหตุผล จะกล่าวว่า สมเหตุสมผล ก็ต่อเมื่อแบบที่สรุปสมเหตุสมผล
ได้กล่าวมาแล้วว่า ความสมเหตุสมผลของความเป็นจริงเอกภพสัมพัทธ์ จะขึ้นอยู่กับค่าความจริงของเอกพจน์ สำหรับการพิสูจน์ความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลในแคลคูลัส
ภาคแสดง ไม่ได้กล่าวในหนังสือเล่มนี้ แต่ได้พิสูจน์ให้เห็นเป็นแนวทางในการใช้
ซึ่งการกล่าวอ้างจะสมเหตุสมผล เมื่อเป็นไปตามหลักการของรูปแบบ Universal Modus Ponens ดังนี้
x , if P(x)then Q(x)
P(x) for a particular c
ดังนั้น Q(c)
การพิสูจน์ว่าเป็นไปตามที่กล่าวจริงโดยสมมุติให้ข้อตั้งหลักและข้อตั้งรองเป็นจริงทั้งคู่
เราสามารถาสรุปได้ว่า Q(c ) เป็นจริง เนื่องจากข้อตั้งรอง P( c ) เป็นจริง สำหรับตัวแทนค่าเฉพาะ c
จากข้อตั้งหลักและความเป็นจริงเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ประพจน์ “ lf P( c ) then Q ( c ) มีค่าความจริง
เป็นจริงสำหรับค่า c ด้วย แต่จากกฎ Modus Ponens เนื่องจาก “ lf P( c ) then Q( c) และ P (c )
เป็นจริงทั้งคู่ ดังนั้น Q( c ) จึงเป็นจริงด้วย อาจจะยังไม่สามารถมองเห็นได้อย่างชัดเจนในการพิสูจน์ที่กล่าวมา หลักการสำคัญในการศึกษาตรรกศาสตร์ คือ หากใช้กฎของตรรกศาสตร์ในการพิสูจน์
จะทำให้ การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล
การใช้แผนภาพในการทดสอบความสมเหตุสมผล (Using Diagrams to Test for Validity)
การสรุปการอ้างเหตุผลโดยวิธีการอนุมาน คือ สรุปจากเหตุไปสู่ผล บางครั้งดูหน้าเบื่อ เพราะเห็นได้ไม่ชัดเจน ยุ่งยาก จึงมีผู้คิดใช้ “แผนภาพ” จึงสรุปผลขึ้น
ผู้ที่ใช้เป็นคนแรก คือ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ Gottfried Wilhelm Leibniz ( LIPE –nits )
(Epp,1990,p.120) การตรวจสอบความถูกต้องของข้อโต้แย้ง โดยใช้แผนภาพ เขียนวงกลมแทนข้อตั้ง
แต่ละข้อ แล้วนำมาวิเคราะห์ว่าสัมพันธ์กันหรือไม่ ถ้าสัมพันธ์กันก็ถือว่าสมเหตุสมผล เช่น จากประพจน์ “เลขจำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ” หรือเขียนอย่างเป็นทางการ คือ จำนวนเต็ม n, n คือจำนวนตรรกยะ
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
