ตัวบ่งปริมาณ( quantifiers ) :
การจะเปลี่ยนประโยคเปิดเป็นประพจน์ ทำได้โดยกำหนดค่าใดค่าหนึ่งให้กับตัวแปรทุกตัวในประโยคเปิด เช่น ในประโยคที่ 2 จากตัวอย่างข้างต้น แทน x ด้วย 35 และแทน y ด้วย 10 จะทำให้ประโยคเปิด “x + y 0” เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริง “เป็นจริง” หรืออีกวิธีการหนึ่ง โดยการกำหนดตัวบ่งชี้ปริมาณ ตัวบ่งชี้ปริมาณที่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือ “ทั้งหมด ( all )” หรือ “บางส่วน (some)” ซึ่งจะทำให้เราพิจารณาได้ว่าประโยคนั้นเป็นจริงหรือเท็จ ผู้ที่นำเอาค่าบ่งชี้ปริมาณมาใช้ในตรรกสัญลักษณ์ (symbolic logic) คือ ชาวอเมริกัน ซึ่งเป็นนักปรัชญา,นักตรรกวิทยา,วิศวกร ชื่อ charles sanders peirce (1839-1914) อ้างใน ( epp,1990,p.88 )
อ่านว่า สำหรับทุกๆค่า (for all) เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้แทนความหมายของทุกๆค่าที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ โดยทั่วไปใช้คำว่า “ทั้งหมด (for all,for each,for any,for every)” เรียกว่า ปริมาณบ่งชี้เอกภพสัมพัทธ์ ( universal quantifier ) เช่น
ค่าความจริงของประพจน์บ่งปริมาณ (the truth of quantifier statements)
ให้ q(x) เป็นประโยคเปิด และ d เป็นโดเมน (domain) ของ x ประโยคเอกภพสัมพัทธ์ (universal statement) เขียนเป็นประโยคในรูป จะเป็นประพจน์จริงก็ต่อเมื่อ q(x) เป็นจริงสำหรับทุกค่าของ x ใน d และจะเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ q (x) เป็นเท็จอย่างน้อย 1 ค่า ของ x ใน d ค่าของ x ที่ทำให้ q(x) เป็นเท็จเรียกว่า ตัวแทนค่าตัวอย่าง (counterexample) ของประโยคเอกภพสัมพัทธ์
ตัวอย่าง ค่าความจริงและค่าเท็จของประพจน์เอกภพสัมพัทธ์(truth and falsity of universal statements)
1. ให้ โดเมน d ประกอบด้วยจำนวน 1,2,3,4 และ 5 จงพิจารณาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้
2. ให้ e เป็นจำนวนจริง จงพิจารณาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้
วิธีทำ 1. ให้ โดเมน d ประกอบด้วยจำนวน 1,2,3,4 และ 5
สำหรับปริมาณบ่งชี้ปริมาณ จะต้องแทนค่าทุกค่าในโดเมน d
แทนค่า x=1 12 1 จริง
x=2 22 1 จริง
x=3 32 1 จริง
x=4 42 1 จริง
x=5 52 1 จริง
จึงเป็นประพจน์จริง เมื่อ d มีค่า 1,2,3,4 และ 5
2. ให้ e เป็นจำนวนจริง การหาค่าความจริงของ
โดเมน e คือจำนวนจริงทุกค่า ถ้าสามารถหาตัวแทนตัวอย่าง (counterexample) ที่แสดงว่าประพจน์เป็นเท็จเพียงหนึ่งคำ ก็สรุปได้ว่า เป็นประพจน์เท็จ
เลือกตัวแทนค่า (counterexample) x = 0.5
(0.5)2 = 0.25
0.25 0.5
นั่นคือ (0.5)2 0.5
แสดงว่ามีอย่างน้อย 1 ค่าคือ x = 0.5 ที่ทำให้ประโยค เป็นเท็จ
เป็นเท็จเมื่อ e เป็นจำนวนจริง
อ่านว่า มีอย่างน้อยหนึ่ง (there exists) เป็นสัญลักษณ์ที่มีอย่างน้อยหนึ่งค่าที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ โดยทั่วไปใช้คำว่า “บางค่า (some)” เช่น ประโยค “มีจำนวนเต็มบวก m และ n อย่างน้อยหนึ่งคู่ ที่ทำให้ m+n =m n” แทนประโยคสัญลักษณ์ได้เป็น “ integers m and n such that m+n=m n”ซึ่งสามารถจะบ่งชี้ ค่าความจริงของประพจน์ได้เมื่อ แทนค่า m และ n ด้วยเอกภพสัมพัทธ์ที่กำหนดให้ สัญลักษณ์ เรียกว่า ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง (existential quantifier)
ให้q(x) เป็นประโยคเปิด d เป็นโดเมนของ x ประพจน์ปริมาณบ่งชี้อย่างน้อย เขียนแทนด้วยรูป x in d such that q(x) จะเป็นก็ต่อเมื่อ q(x) เป็นจริงอย่างน้อย 1 ค่า x ใน d และเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ q(x) เป็นเท็จสำหรับทุกๆค่า x ที่อยู่ในd
ตัวอย่าง ค่าความจริงและเท็จของประพจน์บ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง(truth and falsity of existential statements)
1. ให้ d เป็นโดเมนของจำนวนเต็ม ( ทุกตัว ) จงพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่ว่า m in d such that m2 =m
2. ให้ e ประกอบด้วยจำนวนเต็มที่มีค่าตั้งแต่ 5 ถึง 10 และจงพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่ว่า m in e such that m2 =m
วิธีทำ 1. ให้ d เป็นโดเมนของจำนวนเต็ม ( ทุกตัว ) จงพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่ว่า m in d such that m2 =m
การหาค่าความจริงสำหรับปริมาณบ่งชี้มีอย่างน้อยหนึ่ง ถ้าสามารถหาตัวแทนค่าตัวอย่างในโดเมน d ซึ่งเป็นจำนวนจริงมาแทนในประโยคที่กำหนดให้เพียงหนึ่งค่า ทำให้ประพจน์เป็นจริง ก็สามารถสรุปได้ว่าประพจน์นั้นเป็นประพจน์จริง
จาก m in d such that m2 =m
แทนค่า m ด้วย 1 (1)2 = 1 เป็นจริง
m in d such that m2 =m เป็นประพจน์จริง
2. ให้ e ประกอบด้วยจำนวนเต็มที่มีค่าตั้งแต่ 5 ถึง 10 และจงพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่ว่า m in e such that m2 =m
จาก m in e such that m2 =m
แทนค่า m=5 52 = 25 ดังนั้น 52 5 เป็นเท็จ
m=6 /62 = 36 ดังนั้น 62 6 …….เป็นเท็จ
m=7 72 = 49 ดังนั้น 72 7 …….เป็นเท็จ
m=8 82 = 64 ดังนั้น 82 8 ......เป็นเท็จ
m=9 92 = 81 ดังนั้น 92 9 .......เป็นเท็จ
m=10 102 = 100 ดังนั้น 102 10.......เป็นเท็จ
จะเห็นได้ว่าไม่มีค่าใดเลยในโดเมน e ที่ทำให้ m2 = m เป็นจริง
m in e such that m2 =m เป็นประพจน์เท็จ
ตัวอย่างที่ กำหนดให้ q(x) แทน x < 5 จงหาค่าความจริงของประพจน์
1.
2.
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
